あなたは扉を選び直すべきだった。

1963年、アメリカ。毎週、国民が画面の前から動けなくなる番組があった。

その名は「Let's Make a Deal」。NBCで放送が始まったこのゲームショーは、最盛期には全米トップクラスの視聴率を記録した。番組の仕掛けはユニークで、観客はスタジオに来るときに派手な仮装をしてくる。野菜の着ぐるみ、アニマル帽子、手作りのドレス——目立てば目立つほど、司会者に選ばれてステージに上がれるからだ。

「Let's Make a Deal」のスタジオ（1974年頃）。中央が司会のモンティ・ホール、左がモデルのキャロル・メリル、右がアナウンサーのジェイ・スチュワート。このステージから、のちに数学史に残る問題が生まれた。

司会を務めたのが、カナダ出身のモンティ・ホールだ。本名モンテ・ハルペリン。温かみのある語り口と、観客を乗せる天性の才能で、30年近くにわたってこの番組に君臨した。彼の名前を冠した「モンティ・ホール問題」が、のちに数学史に残る論争を引き起こすことになる。

ゲームの構造はこうだ。ステージに3つの扉が並ぶ。1つの扉の後ろに車（当たり）、残り2つの扉の後ろにヤギ（ハズレ）が置かれている。挑戦者が1つを選ぶ。すると司会者のモンティが、残り2つのうちヤギのいる方を開けて見せる。そして笑顔で言う。「選び直してもいいですよ」と。

ほとんどの人は、ここで「扉が2つになったのだから、確率は50%ずつだろう」と考える。直感はそう言う。だが数学の答えは違う。選び直した方が勝率はおよそ66.7%——そのままにした場合の2倍になる。

まず、何回かやってみてほしい。

ルールはシンプルだ。3つの扉のうち1つを選ぶ。すると司会者が、残り2つのうちヤギのいる扉を1つ開ける。そこで「選び直すか、そのままにするか」を決める。それだけだ。

問いはこうだ。選び直した方が有利なのか、そのままの方が有利なのか、どちらでも同じなのか。理屈の前に、まず手を動かして感覚をつかんでほしい。

数回やったら、下の「100回」「1000回」ボタンで一気に試行を重ねてみるといい。ある値のあたりで数字が収束していくのが見えるはずだ。

3つのケースを、一つずつ見ていく。

なぜ選び直すと勝率が上がるのか。全3パターンを順番に見ていけば、数学的な直感が掴める。ここでは「挑戦者が最初に扉1を選んだ」という前提で考える。車がどの扉の後ろにあるかは、3通りしかない。

1通の手紙が、アメリカの知性を揺さぶった。

1990年の秋、週刊誌「Parade」に1通の読者の質問が届いた。コラム「Ask Marilyn」を担当していたのはマリリン・ボス・サバントマリリン・ボス・サバント（1946–）
ギネス世界記録に「最も高いIQ」として登録されたアメリカのコラムニスト。Parade誌の「Ask Marilyn」欄で読者の質問に答えていた。——ギネス世界記録に「最も高いIQ」として登録された女性だ。彼女はこの問題に、明快に答えた。「選び直すべきです」と。

マリリンの答えが掲載されると、即座に嵐が起きた。推定1万通以上の手紙が殺到し、その中には約1000通の博士号保持者からの抗議が含まれていた。大学の数学科や統計学科のレターヘッド付きで、「あなたは間違っている」と書かれた手紙が次々と届いた。

マリリンは屈しなかった。コラムで3度にわたり反論に応答し、全国の教師に「授業でこの実験をしてみてください」と呼びかけた。数百の学校が実際に実験を行い、結果はマリリンの答えと一致した。著名な数学者ポール・エルデシュポール・エルデシュ（1913–1996）
ハンガリー出身の数学者。生涯で1500本以上の論文を発表した、20世紀で最も多産な数学者のひとり。確率論・組合せ論を得意とした。も当初は否定していたが、コンピューターシミュレーションの結果を見て考えを改めた。

情報は更新されたのに、直感は古いままだった。

最初に扉を選んだ瞬間、世界は3択だった。確率は等しく3分の1ずつ。ここまでは誰も迷わない。

司会者がヤギの扉を開けた瞬間、新しい情報が入った。「残り2つのうち、あちらはハズレだ」という情報だ。しかもこれは偶然ではない。司会者は正解を知っていて、意図的にヤギの扉を選んで開けている。この「意図」が、確率の地図を塗り替える。

しかし直感は、そこで止まっている。「2つになったのだから50%のはず」と感じてしまう。最初の判断を起点に考えてしまうからだ。本当は、最初の選択が間違いだった確率は3分の2もあるのに。

これは確率の問題であると同時に、人間が「更新」を苦手とするという問題でもある。情報が変わったのに、古い判断枠をそのまま使い続ける。最初の選択に引きずられる。変えることにコストがかかる気がする。これはサンクコスト錯誤サンクコスト錯誤（sunk cost fallacy）
すでに投じた時間・お金・労力を惜しんで、合理的でない判断を続けてしまうこと。「もったいない」という感情が最善の選択を妨げる。とも、確証バイアス確証バイアス（confirmation bias）
自分がすでに信じていることを裏付ける情報だけを集め、矛盾する情報を無視してしまう傾向。最初の判断を正当化しようとする心理。とも地続きの話だ。

扉の話だからこそ、日常に延長できる。転職、人間関係、習慣、信念——最初に選んだものに引きずられて、更新できていない判断が、今もどこかにあるかもしれない。

映画、小説、ドラマ——この問題は繰り返し「呼ばれる」。

数学的に正解があるにもかかわらず、知っていても納得しにくい。だからこそ物語の中で「知性の証明」や「直感の裏切り」を描きたいとき、この問題は繰り返し登場する。

モンティ・ホール（1921–2017）。30年近く「Let's Make a Deal」の司会を務めた彼の名前は、本人の意思とは関係なく、数学の問題の名前として世界中の教科書に刻まれた。