永遠に上昇する音

音の高さは、なぜ一直線ではないのか

ピアノの鍵盤を一番左から右まで弾いていくと、音は低いところから高いところへ一直線に上っていく。私たちはふだん、音の高さをそういう連続した直線として扱っている。低い、高い、その間。終わらない尺度の上に点がひとつ置かれる。

ところが、同じ鍵盤でド、ド、ド、ドとオクターブを越えながら弾いていくと、違う感覚が滑り込んでくる。どのドオクターブ周波数が2倍になるごとに同じ「音名」が戻ってくる関係。440Hzと880Hzはどちらも「ラ」と呼ばれる。人間の聴覚は周波数が2倍になった音を"同じ音の高い版"として受け取る。も、たしかに高さが違う。だけど同時に、どれも「同じ音」でもある。高さが違うのに、同じだ。この二重性は、鍵盤の上の「左右の位置」だけでは説明できない。

ピッチは「高さ(直線の軸)」と「音名(円環の軸)」の二重構造を持つ。直線だけで捉えるとオクターブ関係が見えず、円環だけで捉えると高さの感覚が消える。両方を掛け合わせた3D螺旋が、シェパードの描いたピッチ空間。

1964年、ベル研究所の認知心理学者 ロジャー・シェパード は、この二重性を一つの図にまとめた。音の高さを縦の軸、音名(C, C#, D, …, B)を円環の軸として、両者をかけあわせた螺旋に置いたのだ。論文は米国音響学会誌 (JASAJASAJournal of the Acoustical Society of America。1929年創刊の、音響学の国際的な中核ジャーナル。物理音響・音声・楽器音響・聴覚科学など、音に関わる論文の一次情報源として50年以上機能している。) に掲載された。螺旋を一周すると、一段高いところに戻ってくる。違う場所だが、方位は同じ。違う高さだが、音名は同じ。

シェパードはこの螺旋を、論文の一節で エッシャーの無限階段Escher's infinite staircaseオランダの版画家 M.C. エッシャー (1898-1972) が1960年の作品《上昇と下降》で描いた、登り続けても元の場所に戻ってくる不可能図形。元はペンローズ父子が1959年の論文で提示した「ペンローズの階段」で、エッシャーがそれを版画作品に落とし込んだ。になぞらえた。階段は一段ずつ昇っていくのに、一周すると同じ踊り場に戻ってくる。局所的には登り続け、大域的には閉じている。

同じ錯覚の視覚版
どの段も一段高いのに、四角く一周すると同じ高さに戻ってくる。シェパードトーンはこれの聴覚版だ。

Impossible staircase — Sakurambo / Wikimedia Commons (Public Domain)

音の高さも、そうありうる。問いはすぐに、反転する。もし局所的な「上がった」だけを与え続けて、大域的な帰着を隠したら、耳は何を聞くか。

その答えは、5年後、ベル研究所Bell Labs米 AT&T 系列の研究機関(1925-)。電話・通信から出発し、トランジスタ(1947)、レーザー、UNIX、C言語、情報理論(シャノン)など20世紀後半の基盤技術を大量に生んだ研究所。60年代末にはマックス・マシューズらが世界最初期のコンピュータ音楽プログラムを開発していた。の グリッサンドglissandoひとつの音からもう一つの音へ、不連続な「ステップ」ではなく、なめらかに周波数を動かして渡る奏法。トロンボーンや弦楽器でしばしば聞く、「ずるずると音程が変わる」あれ。のなかで実装された。フランスの作曲家 ジャン=クロード・リッセ が、シェパードの離散的な音階を連続な滑らかさに変え、切れ目のない「永遠の上昇」を鳴らしたのだ。

こうして設計された音を聴いた人は、口を揃えて「どこまでも上がっていく」と報告した。それが何秒続こうが、音が実際に上限に達することはなかった。ここで先回りして、よくある誤解を三つだけ片付けておきたい。それぞれの思い込みを外した方が、このあと実際に音を聞くときの耳が自由になる。

つまり、騙されているのは耳ではなく、音をどう組み立てるかという脳の規則の方だ。そしてその規則は、知識で切り替えられる種類のものではない。ここから先、文字だけで読んでもあまり意味がないセクションに入る。音を鳴らして、実際に聞いてみてほしい。

永遠に上がる音を、実際に鳴らす

ここからは、耳で確かめてほしい。下のプレイヤーは、シェパードトーンをブラウザ上で合成して再生する。イヤホンかスピーカーがあると差がよく分かる。最初は小さな音量にして、「再生」を押してから音量スライダーで調整してほしい。

左端の「再生」ボタンで音が始まる。モードを切り替えることで、同じ仕掛けを内側から確認できるようにしてある。3つの正しい動作を先に書いておく:

• 上昇モード — 8本のサイン波が、キャンバス上を左→右にじわじわ流れつづける。右端(高周波側)で消え、ほぼ同時に左端(低周波側)から新しい成分が入ってくる。耳には永遠に上がり続ける音として聞こえ、実際は1オクターブ分で同じパターンが繰り返されている。
• 下降モード — 上と逆方向。成分が右→左に流れ、左端で消え、右端から新しく出てくる。永遠に下がり続ける音。
• 単音モード — サイン波1本だけ。全帯域(55Hz→7040Hz)を左→右に一定速度で上がっていく。山形エンベロープに沿って中央で最大音量、両端で静か。右端まで上がりきると、"ガクン"と左端に戻る。この折り返しが聞こえるのが、シェパードトーンとの決定的な違い。

上昇モードで30秒〜1分聞いたあと、単音モードに切り替えてみてほしい。片方は永遠、片方は有限。同じ平均周波数帯を使っていても、聞こえ方はまったく違う。

聞きながら、可視化(上のキャンバス)を眺めてほしい。赤い点が左から右へじわじわと移動し、右端(高い側)でフェードアウトしながら、ほぼ同時に左端(低い側)から新しい点がフェードインしてくる。点全体は右に流れ続けているが、分布そのものはずっと同じ釣鐘型にとどまっている。流れているのは成分で、留まっているのは風景だ。

ガウスの釣鐘つりがねと、オクターブの梯子はしご

シェパードトーンは、1本のサイン波sine wave純粋な単一周波数の、混じりけのない波形。どんな複雑な音も、数学的にはサイン波の足し合わせに分解できる(フーリエ分解)。シンセサイザーの最も基本的な素材。ではなく、複数のサイン波を1オクターブ間隔で重ねたものでできている。ある成分が 220Hz なら、その上に 440Hz、880Hz、1760Hz、3520Hz …と、倍々に周波数を上げた成分を同時に鳴らす。どれも同じ「音名」を指しているので、聴覚はこの束を「一つの音」として受け取る。

中央(耳が一番敏感な領域)に音量のピークを置き、両端(低すぎ・高すぎ)で音をほぼ消す釣鐘つりがね型の重みづけ。これが「シェパードトーン」の本体。

ただオクターブで重ねただけでは、錯覚は起きない。鍵は、それぞれのサイン波の音量を、釣鐘型のカーブで重みづけすることにある。中央の周波数に近い成分はしっかり鳴らし、極端に低い成分と極端に高い成分はほとんど聞こえない音量にまで落とす。これがシェパードが「ガウス・エンベロープGaussian envelope中央が高く、両端に向かって裾野が滑らかに下がる釣鐘型の関数。「中央近くは大きく、端は小さく」という重みづけを自然な形で与えられる。統計学の正規分布と同じ形。」と呼んだ仕掛けだ。

ここから本題。全体の周波数を少しずつ上にずらしていく。8本のサイン波が、それぞれ手をつないだまま右にスライドするように、同じ比率で上がっていく。このとき、一番上の成分は可聴域を超えて消えていき、同時に、一番下に新しい成分がそっと加わる。釣鐘の形は動かない。動いているのは、釣鐘の中を右に抜けていく成分たちだ。

各サイン波は個別には「有限の時間だけ鳴って消える」が、入れ替わりが滑らかなので、全体としては終わらない上昇に聞こえる。

ここが決定的だ。聴覚は、個々のサイン波の「この一本が終わった」を追うのではなく、釣鐘の中で動いている全体のパターンを「今の音の高さ」として受け取る。そのパターンは、止まることなく上にスライドしている。だから耳は「ずっと上がっている」と報告する。リセットは、脳には届かない。

耳は正直だ。入ってきた振動のスペクトルを、ちゃんと成分ごとに分解している(蝸牛がする仕事)。錯覚はその先、「このスペクトルの代表値はどこか」を決めようとするときに起きる。代表値をひとつに絞ろうとすると、ガウスの中央が答えの候補になる。その中央が、わずかに上へ動き続ける。脳はその動きを、そのまま「上がり続けている音」と報告する。

錯覚を追い続けた100年

具体的な音楽・映画・ゲームでの使用例は このあとのカタログ にまとめる。ここでは 科学がこの現象を掴んで手放さなかった百年 を辿る。芸術家の経験則が先にあり、研究者が名前を付け、別の作曲家がそれを連続化し、さらに半世紀後に情動との関連まで実証される。

「到達しない」が作る緊張

シェパードトーンが強く使われる場面には、いつも共通点がある。答えを遅らせたい場面だ。ホラーの追い詰められる場面、ゲームの終わらない階段、戦争映画の「まだ脱出できない」一時間。音楽的な「解決(解放)」を、構造的に先延ばしできる。だから耳は「もう少し、もう少し」と待たされ続ける。

映画全体がひとつのシェパード構造になるように、スコアがタイムライン構造そのものを映している。

この「到達しない」は、音に限らない。スクロールしても下端が来ないフィード。レベルが上がり続ける RPG。数字が増えつづけるダッシュボード。どれも、差分の方向さえ揃えておけば、終点は隠せることを知っている設計だ。シェパードが1964年に見せたのは、単なる音の錯覚ではなく、「終わらなさを人工的に作る方法」の骨格だったのかもしれない。

では、この100年のあいだに、どこでこの錯覚は実際に使われてきたのか。作曲家・映画監督・ゲーム音楽家が独立に、あるいは影響を受けて採用してきた13の具体例を、次に並べる。