たった23人で、誕生日は重なる

パーティーで生まれた問い

1930年代のイスタンブール。オーストリアから亡命した数学者リヒャルト・フォン・ミーゼスRichard von Mises（1883–1953）
オーストリア出身の数学者・物理学者。確率論の頻度主義的解釈の提唱者。ナチス台頭後、トルコ経由でアメリカに亡命。兄は経済学者ルートヴィヒ・フォン・ミーゼス。は、ある集まりで不思議な偶然に出くわした。60人ほどのパーティーで、同じ誕生日の人が3人もいたのだ。「これは珍しいことなのか、それとも当たり前のことなのか」——その問いを、フォン・ミーゼスは数学で解くことにした。

1939年、彼はイスタンブール大学の紀要に論文を発表する。タイトルは「配分と占有の確率について」。その中で彼は、n人の集団における誕生日の一致の期待値を計算した。答えは衝撃的だった。たった23人で、少なくとも1組の誕生日一致がある確率は50%を超える。365日もあるのに、たったの23人。

ただし、フォン・ミーゼスが扱ったのは「一致ペアの期待値」であり、今日よく知られる「何人で50%を超えるか」という形の問題そのものではなかった。そちらは、イギリスの数学者ハロルド・ダヴェンポートHarold Davenport（1907–1969）
イギリスの数学者。数論の分野で重要な業績を残した。誕生日問題の着想者と見なされているが、本人は「自分が最初だとは信じられない」として公式には発表しなかった。が1927年頃にすでに着想していたとされる。ダヴェンポートは公式には発表しなかった。「こんな単純なことを、誰も先に言っていないはずがない」と思ったからだ。

こうして、着想はダヴェンポートに遡り、最初の出版はフォン・ミーゼスに帰せられる。その後、確率論の大家ウィリアム・フェラーWilliam Feller（1906–1970）
クロアチア出身の数学者。著書『確率論とその応用』は確率論の教科書として20世紀で最も影響力があったとされる。が1957年の教科書『確率論とその応用』で取り上げたことで、この問題は世界中の教室に広まった。

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あなたの直感は、何%と言うだろう。

まず試してほしい。23人の集団で、少なくとも1組の誕生日一致がある確率は何%だと思うか。スライダーを動かして答えてみてほしい。正解を知ってから「当たり前でしょ」と思うのは簡単だ。その前に、自分の直感を記録しておくことに意味がある。

予測と実際のギャップに驚いた人は多いだろう。だが、なぜそうなるのかは、まだ「感覚として」わかっていないはずだ。次のシミュレーターでは、ランダムに誕生日を生成して1000回シミュレーションを回す。理論値に結果が収束していくさまを、自分の目で確認できる。

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人数は足し算で増えるが、ペアは掛け算で増える。

直感がなぜ外れるのか。答えは「比較の数」にある。23人の部屋で、ある特定の1人（たとえばあなた）と誕生日が同じ人がいる確率は確かに低い。22/365で、約6%だ。直感が「低い」と感じるのは、この計算をしているからだ。

だが問題は「あなたと誰か」ではない。「誰かと誰か」だ。23人のうち、ペアになりうる組み合わせの数は23×22÷2＝253通り。あなたが関わるペアは22通りしかないが、あなた以外のペア同士の組み合わせが231通りもある。私たちはこの「自分が含まれないペア」を本能的に無視する。

ボタンを何度か押してみてほしい。人が1人増えるたびに、その人は既存の全員と線で結ばれる。5人で10本、10人で45本。そして23人で253本だ。線の本数は人数の二乗に比例して増えていく。ここに直感の罠がある。

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パーティーの疑問から、暗号解読の武器へ。

誕生日問題の主要な展開 関連する出来事

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「ありえない偶然」は、たいていありえる。

誕生日のパラドックスが教えているのは、特定の問題の解き方ではない。私たちの直感が組み合わせの爆発を過小評価するという、もっと普遍的な話だ。

同窓会で「同じ映画を先週観ていた」人がいると驚く。会社の歓迎会で「出身地が同じ」人がいると運命を感じる。だが、20人の集まりで「共通点が何もない」方がはるかに珍しい。比較するペアの数は190通りあり、共通点の種類（誕生月、出身県、好きな映画……）は無数にある。「驚くべき偶然」は、ペアと属性の掛け算で必然に変わる。

暗号の世界では、この直感の甘さが致命的になる。ハッシュ関数の設計者が「128ビットの出力なら衝突は事実上起こらない」と思っていても、バースデーアタックはその半分の64ビット相当の試行数で衝突を見つけてしまう。2004年にMD5が破られたのは、この数学を過小評価した結果だ。

では、日常で私たちにできることはあるだろうか。いくつかの手がかりはある。ひとつは、フェルミ推定フェルミ推定（Fermi estimation）
おおまかな見積もりを桁数レベルで素早く行う手法。正確な答えを求めるのではなく、「桁が合っているか」を確かめるのに有用。的に「比較対象はいくつあるか」を先に数えることだ。20人の集まりならペアは190組。その数を頭に置くだけで、「偶然の一致」に対する驚きの閾値が変わる。もうひとつは、基準率基準率（base rate）
ある事象が「何もしなくても」起こる確率。特定の条件をつけずに計算した、ベースラインとしての確率のこと。を意識すること。「その偶然が起きる確率」だけでなく、「その偶然が起きない確率」を裏返して考える。23人で全員バラバラである確率はたった49.3%——半分を切っている。偶然に驚く前に、裏側の数字を見る習慣だ。

だが正直に言えば、こうした対策は万能ではない。知っていても直感は変わらない。フォン・ミーゼスも、フェラーも、この問題を解いた数学者たちでさえ、最初は驚いたのだ。知識で直感は上書きできない。できるのは、「自分の直感は確率を見誤る」と知っておくことだけだ。それだけで、驚くべき偶然に出会ったとき、一拍置いて考える余裕が生まれる。

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