数字の世界の推しは、いつも1

汚れたページが語った法則

1881年、サイモン・ニューカムSimon Newcomb（1835–1909）
カナダ生まれのアメリカの天文学者・数学者。海軍天文台で天体暦の改訂に尽力した。対数表の摩耗から先頭数字の偏りに気づいた最初の人物。というカナダ出身の天文学者が、職場の図書室でささやかな異変に気づいた。共用の対数表対数表（table of logarithms）
電卓がない時代、掛け算や割り算を手早くこなすために使われた数値表。対数を使うと掛け算が足し算に変わるため、天文学者や技術者の必需品だった。数字は1.000…から9.999…まで順に並んでいる。。当時の科学者が複雑な計算を処理するために日常的に使っていた分厚い数値の書物だ。その最初のほうのページだけが、妙に汚れていた。後半のページは比較的きれいなままだった。

対数表の前半には、先頭が1や2の数字が並んでいる。後半には8や9で始まる数字が並ぶ。つまり、科学者たちは1で始まる数字を圧倒的に多く調べていた。ニューカムはこの観察から、自然界に現れる数字の先頭桁は均等ではなく、小さい数字ほど多く出現するという仮説を導き出した。彼はこの結果を『American Journal of Mathematics』にわずか2ページで発表したが、ほとんど誰にも注目されなかった。

半世紀以上あとの1938年、ゼネラル・エレクトリック社の物理学者フランク・ベンフォードFrank Benford（1883–1948）
アメリカの電気工学者・物理学者。GEの研究所で光学測定を専門とし、109の論文を発表。対数表の偏りに気づき、20分野・20,229件のデータで検証した。がまったく同じ現象に気づいた。ただしベンフォードはニューカムと違い、観察にとどまらなかった。川の面積、都市の人口、物理定数、分子量、Reader's Digest誌の数字、死亡率。20の異なる分野から20,229件のデータを集め、すべてが同じパターンに従うことを示したのだ。1938年、アメリカ哲学会紀要に「異常な数の法則（The Law of Anomalous Numbers）」として発表された。

Frank Benford

物理学者 / ゼネラル・エレクトリック研究所

Wikipedia

1883年ペンシルベニア州ジョンズタウン生まれ。6歳のときにジョンズタウン大洪水で自宅を失う。ミシガン大学卒業後、GEの照明工学研究所で18年、研究所で20年勤務。光学測定の専門家として109の論文と20の特許を残した。対数表の汚れに気づいた「ただの好奇心」が、彼の名を最も広く知らしめることになった。

あなたの直感を試す。数字の先頭桁を数えてみよう。

これからいくつかの「数字の集まり」を見せる。それぞれの先頭桁（最初の数字）を抜き出して、1から9がそれぞれ何回出てくるかを数えてほしい。すべて実在のデータだ。先頭桁がどう分布するか、予想してから結果を見てほしい。均等に散らばると思うか、それとも偏ると思うか。

データの種類を変えても、同じパターンが浮かび上がることに気づいただろうか。先頭が1の数字は約30%、9は5%前後。これがベンフォードの法則の核心だ。感覚として体験することに意味がある。「知っている」のと「目で見た」のとでは、納得の深さが違う。

対数のものさしで世界を見る

なぜ先頭桁が偏るのか。その鍵は対数（ログ）にある。まず「対数とは何か」を確認しておこう。10を何回掛けたら目的の数になるか、その「回数」を表すのが対数だ。10を2回掛ければ100なので、log₁₀(100)＝2。10を3回掛ければ1000なので、log₁₀(1000)＝3。つまり対数は「桁数を測るものさし」のようなものだ。100と1000はたった1違いだが、桁がひとつ違う。

私たちが普段使う「ものさし」は等間隔だ。1から2も、8から9も、同じ幅。だが自然界の多くの現象は掛け算で動く。人口は「毎年1000人増える」のではなく「毎年3%増える」。株価は「毎日100円上がる」のではなく「毎日0.5%動く」。掛け算の世界では、対数が自然なものさしになる。そして対数のものさしでは、1から2までの幅が9から10までの幅よりずっと広い。

これがすべての答えだ。対数のものさしの上でランダムに点を打つと、1から2の区間に落ちる確率は約30%。9から10の区間に落ちる確率は約5%。数式で書くと P(d) = log₁₀(1 + 1/d)ベンフォードの公式
先頭桁がdである確率を求める式。dに1を入れると log₁₀(2)≈0.301 で約30%、dに9を入れると log₁₀(10/9)≈0.046 で約5%。log₁₀ は「10を何乗したらその数になるか」を表す。 となる。先頭桁が1になる確率は、9になる確率の6倍以上ある。

もう少し日常的に考えてみよう。銀行口座に100万円があるとする。年利5%で運用すると、100万から200万になるまでに約14年かかる。だが200万から300万になるまでは約8年だ。同じ「100万円の増加」なのに、時間が違う。先頭桁が1である期間は、先頭桁が2である期間より長い。指数関数的指数関数的成長（exponential growth）
一定の「割合」で増え続ける成長のこと。たとえば毎年2倍になるなら、1→2→4→8→16…と加速的に増えていく。人口増加、感染症の拡大、複利の利息などが典型例。に成長するものは、どの桁帯を通過する「滞在時間」も対数に比例する。

数字の嘘は、先頭桁に現れる

ベンフォードの法則が現代で最も注目される理由は、不正検出への応用だ。1990年代、会計学者マーク・ニグリニMark Nigrini
南アフリカ出身の会計学者。ウェストバージニア大学准教授。1999年にベンフォードの法則を監査ツールとして会計の世界に紹介した先駆者。が初めてこの法則を会計監査の道具として提案した。着想はシンプルだ。自然に生まれたデータは法則に従う。人間が捏造したデータは従わない。なぜなら、人間は「ランダムな数字」を作ろうとすると、先頭桁を均等に散らばらせてしまうからだ。5、6、7で始まる数字を不自然に多く使い、1を過少にする。この癖が、法則との乖離として浮かび上がる。

アメリカの連邦裁判所では、ベンフォードの法則に基づく分析が証拠として認められている。エンロンEnron
アメリカのエネルギー企業。2001年に大規模な会計不正が発覚し破綻。史上最大級の企業スキャンダルとなった。監査法人アーサー・アンダーセンも連鎖的に解散した。の会計スキャンダルでも、事後分析において収益報告の先頭桁の異常が指摘された。ギリシャがEUに報告したマクロ経済データが法則から大きく逸脱していたことも、研究で報告されている。

対数表の汚れから、不正検出へ

主要な出来事 関連する出来事

数字は、生まれた瞬間から対数に従っている

ベンフォードの法則が語っているのは、数字についての法則というよりも、世界のスケールについての法則だ。自然界の多くの量は加法的（足し算）ではなく乗法的（掛け算）に変化する。掛け算の世界では、対数が自然なものさしになる。そして対数のものさしで数字を並べると、小さい先頭桁が広い場所を占める。

面白いのは、この法則が「不正の検出」に使えるという事実だ。自然に生まれた数字は法則に従う。人間が頭のなかで「もっともらしい数字」を捏造すると、無意識に先頭桁を均等に散らばらせてしまう。5や7や8を使いすぎ、1を少なくする。この「対数感覚の欠如」が、データの中に痕跡として残る。

ただし、忘れてはならないことがある。ベンフォードの法則は万能ではない。すべてのデータに当てはまるわけではないし、法則からの逸脱が即座に不正を意味するわけでもない。法則は「ここを調べてみろ」と指差す道具であり、答えそのものではない。ニューカムが対数表の汚れに気づいてから140年以上、この素朴な観察は、不正会計からSNSのボット検出まで、意外な場所で力を発揮し続けている。

サイモン・ニューカム（1835–1909）。対数表の汚れに最初に気づいた天文学者