六次の隔たり

ブダペストのカフェで、一人の作家が賭けをした

1929年、ハンガリーの作家 フリジェシュ・カリンティFrigyes Karinthy
1887–1938年のハンガリーの作家・詩人・ユーモリスト。短編「Láncszemek(鎖)」で、後に「六次の隔たり」と呼ばれる発想を世界で初めて文章化した。は、短編集『すべては別のかたちで』を出した。その中の「鎖」という一篇で、彼はこんな遊びを提案する。地球上の誰でも良い、任意の一人を名指ししてくれ。自分はその人物に、手紙を五人の友人知人を経由して届けて見せる——と。

カリンティは賭け事のつもりで書いていない。蒸気船、電信、ラジオが張り巡らされ、世界が日ごとに縮んでいくことへの、詩人としての恐れを込めた随筆だった。「ヨーロッパの作家が、デトロイトのフォード工場で働くリベット工に、五人を超えずに繋がってしまう」。当時これは薄気味悪い予感で、数学ではなかった。

それから半世紀。この直感には二つの問題があった。ひとつは、本当にそうなっているのか誰も確かめていないこと。もうひとつは、もし本当なら、なぜそうなるのか誰も説明できないこと。後者の方がはるかに難しい。なぜなら、人間関係は直感的に矛盾する二つの性質を同時に持っているからだ。

図1 — 規則格子(リング格子)。16ノードが両隣2人ずつと繋がる。近傍は密だが、対角まで4ホップ要る。

一方の極きょく極(きょく)
「両端」「最も端の状態」のこと。ここでは「一番規則正しい配置」と「一番ランダムな配置」という、ネットワークの両端の状態を指す。中間にあるのが「スモールワールド」。は規則格子だ。ムラのない格子状のつながり。近所どうしは密に繋がり、三角形が無数にできる。「友達の友達は高確率で友達である」という直感に合う(図1)。しかし代償として、遠くのノードにはいくつものステップを踏まないと届かない。端から端まで、ホップを律儀に重ねるしかない。

図2 — ランダムグラフ。エッジを一様乱数で張ると、どのノードからどこへも数ステップで届く。代わりに近所のまとまり(三角形)は崩れる。

もう一方の極はランダムグラフだ。エッジを無作為に張ると、どのノードからどのノードへも、驚くほど数ステップで届く(図2)。世界は縮む。しかし、近所のまとまりは消える。あなたの友達同士が互いを知っている、という確率は、一様乱数の前ではほぼゼロになる。

問題は、現実の人間関係がこの二つのどちらにも当てはまらないことだった。友達の友達はだいたい友達で、しかも世界の反対側にも数ステップで届く。直感としてはそうなのに、どの数理モデルもこの同時成立を再現できなかった。

図3 — 規則格子は クラスタ係数クラスタ係数 C
あるノードの近傍ノードどうしが互いに繋がっている割合の平均。1に近いほど「友達の友達は友達」。(C)が高く平均経路長平均経路長 L
全ノード対の間の最短ホップ数の平均。小さいほど「どこでも近い」。(L)も高い。ランダムグラフは両方とも低い。C 高 × L 低 の場所は、長く空白地帯だった。

図4 — 近所のエッジを一本だけ外して遠くへ張り替える。局所的にはクラスタが壊れるが、大域的にはそのノードに近道ができる。

1998年、コーネル大学の WattsDuncan J. Watts(ダンカン・ワッツ)
1971年生まれ。オーストラリア出身の物理学者・計算社会科学者。1998年当時、コーネル大学の応用数学博士課程の学生で27歳。元はコオロギの鳴き声同期を研究していた。後の章で詳しく紹介する。 と StrogatzSteven H. Strogatz(スティーブン・ストロガッツ)
1959年生まれ。コーネル大学の応用数学者で、Watts の指導教員。非線形動力学・同期化現象の権威。一般向け著書『SYNC』『Infinite Powers』でも知られる。後の章で詳しく紹介する。 の二人——応用数学を専門とする師弟ペアは、この問題に一つの操作を提案した。規則格子から始めて、各エッジを確率 p で、ランダムな相手に張り替える(図4)。p=0 なら元の規則格子、p=1 なら完全にランダム。途中の p は、その中間。二つの極の間を連続的に動かせるダイヤルを作ったのだ。

彼らがダイヤルを回して測ったのは、平均経路長 L と クラスタ係数 C の二つ。結果は意外だった。p をほんの少し上げただけで、L は崖のように落ち、C はほとんど動かない。両立しないと思われていた二つの性質は、p の広い中間領域で同時に成立した。

ダイヤルを、自分で回してみる

これから、あなたはスライダーを一本だけ動かす。p と書かれたつまみだ。p は「規則格子のエッジのうち、何割をランダムな相手に張り替えるか」を決める。p=0 で元の規則格子、p=1 で完全なランダム。間の値は、二つの極のどこかに位置する。

画面には20個のノードが円周上に並び、最初は両隣の2人ずつと繋がっている(つまり一人当たり4本のエッジ。これを次数 k=4と呼ぶ)。スライダーを動かすと、エッジの一部が赤い点線で別のノードへ飛ぶ。同時に、二つの数値がリアルタイムで計算される——平均経路長 L(任意の二人を選んだとき何ホップで届くかの平均)と、クラスタ係数 C(ある人の友達同士が互いに知り合いである割合の平均)。

ルールは一つだけ。L と C が同時に変わる瞬間を見つけてほしい。特に、p=0.01 から p=0.1 の狭い範囲に注意して欲しい。Watts と Strogatz が発見したのは、そこで起きる非対称——L だけが急に小さくなり、C はほとんど変わらない、という奇妙な振る舞いだった。

なぜ、たった1本の近道が世界を半分に切るのか

この問題に決着をつけたのは、社会学者ではなく、物理学者と応用数学者の師弟ペアだった。スライダーで遊んだあと、なぜ L は急落して C は持ちこたえるのか——その「なぜ」を解いた二人を紹介する。

この二人は、社会学の長年の問題を解こうと意気込んで研究を始めたわけではない。物理と数学の道具——同期化研究で培った「単純な規則の集合がどう全体を生むか」を捉える視点——を別の対象に向けただけだった。それが結果として、Karinthy が予感し、Milgram が測ろうとした問題に、初めて一行の数式と一本のスライダーを与えた。論文はわずか3ページ。Nature 史上最も引用された論文の一つになる。

まず L の落ち方。20ノードの規則格子では、反対側のノードに届くのに5ホップかかる。ここに1本だけ、環の反対側までエッジを張り替えてみよう。

図5 — 1本の近道(赤の点線)ができると、A→B の最短経路は5ホップから2ホップへ短縮される。しかも、他のペアの最短経路もこの近道を経由できる。効果は張替えられたエッジそのものを超えて伝播する。

1本の近道は、この2点の距離を縮めるだけではない。その近道を経由できる他のすべてのペアの距離も縮める。1本が、何十組の最短経路に効く。これが L の急落の正体だ。効果が乗算的に広がる。

一方、C が残る理由はもっと地味で美しい。クラスタ係数 C は、局所の三角形がどれだけ残っているかの指標で、各エッジの3辺のうちどれか一本が張替えられた時に初めて崩れる。規則格子の三角形が無事である確率は、きれいに (1−p)³ で表せる。

図6 — p=0.1 のとき、三角形は (1−0.1)³ = 0.729、つまりまだ約73%残っている。張替率10%では、大域的には世界が縮み、局所的にはまとまりがほぼ温存される。これが両立の正体。

L の急落は「1本の近道の効果が他のペアに波及する」からで、C の粘り強さは「三角形を壊すには3辺のうち1辺が当たる必要がある」から。両者は同じ操作(張替え)に対して、全く違う速度で反応する。Watts と Strogatz の洞察は、この非対称を数式で可視化したことだった。

そしてこのモデルは、人間関係だけの話ではなかった。彼らは論文の後半で、実在する3つのネットワークについて L と C を測っている。映画俳優の共演グラフ。米国西部の電力網。線虫 C. elegansC. elegans(カエノラブディティス・エレガンス)
1mmほどの線虫。神経細胞の数が302個と少なく、全てのニューロン接続(コネクトーム)が完全にマップされた唯一の多細胞生物。 の神経回路。いずれも、ランダムグラフに近い L を持ちながら、規則格子並みの C を保っていた。

俳優は出演作を通じた地元クラスタを持ちつつ、稀に海外製作に参加して遠方へ橋を架ける。電力網は地理的に隣接する変電所と繋がりながら、長距離送電線で州を跨ぐ。線虫の神経は同じ機能群で密集しつつ、稀に長距離の軸索で脳の反対側と話す。どれも、少数の近道を持つ規則性だった。

直感から、実験へ、戯曲へ、そして数式へ

結局、何が縮めているのか

「世界は狭い」と私たちが感じる時、想像しているのはたいてい「誰もが顔が広いから」だ。だが Watts–Strogatz が示したのは、ハブは不要だったという事実だ。全員が同じ次数でも、ごくわずかな「普段の縁の外」に伸びるエッジさえあれば、世界は十分に縮む。

これは私たち一人ひとりの振る舞いへの示唆でもある。自分の人間関係を地元の稠密さから測ると、どうしても「狭いコミュニティの中で閉じている」ように見える。しかし実際は、時おり遠くに張る一本の線が、自分自身を含むコミュニティ全員の距離を縮めている。密度と遠方性のトレードオフは、多くの場合、幻想だ。

このモデルはその後、脳のニューロン配線、タンパク質の相互作用ネットワーク、Web のハイパーリンク、電力網の停電伝播まで、あらゆる系で検証された。「規則 + 少数の近道」は、複雑系に共通するアーキテクチャだったことが明らかになっていく。1998年のわずか3ページの論文は、Natureで最も引用された論文の一つとなり、Watts と Strogatz が想像した以上に射程の長い発見になった。