悪魔は記憶している

破れない法則と、それを破ろうとした手紙

これらすべてに共通するのは、放っておけば「乱雑さ」「混ざり具合」が増える方向にしか進まない、という点だ。物理学はこの乱雑さをエントロピーエントロピー系の「乱雑さ」を測る量。整列・分離した状態は低く、混ざり合ってバラバラな状態は高い。単位はジュール毎ケルビン(J/K)。と呼び、孤立した系孤立した系外部とエネルギーや物質をやりとりしない、閉じた範囲のこと。「この箱の中だけ」と切り取って考える、物理学の標準的な設定。のエントロピーは時間とともに増えるか、せいぜい変わらないだけで、決して減らない、と定式化した。これが熱力学第二法則熱力学第二法則孤立した系のエントロピー(乱雑さ)は時間とともに増えるか、変わらないかのどちらかで、決して減らないという法則。19世紀半ばに確立。である。エネルギー保存則と並ぶ、近代物理学の二本柱の一本だ。

1867年12月11日、35歳のジェイムズ・クラーク・マクスウェルは、友人ピーター・ガスリー・テイトに一通の手紙を書いた。テイトが熱力学の教科書を準備しているのを知り、彼はこう書き出した。「第二法則に小さな穴を開けてみよう」。

提案された思考実験を理解するために、ひとつ前提を共有しておく。私たちが「温度」と呼んでいるものは、ミクロには分子の動きの速さのことだ。お湯の中では水分子が激しく飛び回り、冷たい水の中では同じ分子がゆっくり動いている。同じ集まりでも、平均して速く動いていれば温度が高く、ゆっくりなら温度が低い。これは19世紀半ばに確立した、ボルツマンらによる気体分子運動論の中核アイデアである。

手紙のなかでマクスウェルが提案したのは、後に「マクスウェルの悪魔」として知られることになる、物理学史上もっとも有名な思考実験のひとつだった。気体の入った箱を仕切りで二つに分け、仕切りの中央に小さな穴を空ける。穴のところには『悪魔』がいて、近づいてくる分子の速度を見分け、速い分子だけを片方の部屋に通し、遅い分子だけをもう片方に通す。すると、速い分子ばかりが集まった部屋は熱くなり、遅い分子ばかりの部屋は冷たくなる ―― エネルギーを一切加えていないのに、温度差が生まれる。

念のため断っておくと、マクスウェル本人はこの存在を「悪魔」とは呼ばず、「有限の存在(a finite being)」と書いた。敬虔けいけんなキリスト教徒であった彼が生涯この言葉を口にしなかったのには、信仰の手前もあったかもしれない。「悪魔(demon)」と名付けたのは、7年後の1874年にウィリアム・トムソン(ケルビン卿)で、以後そちらが定着した。本記事もそれに倣う。

ここで「だから何?」と思うかもしれない。だが、温度差というのは仕事(エネルギー)の元手だ。蒸気機関や火力発電所は、まさに温度差から動力を取り出す装置である。つまり悪魔の装置は、エネルギーを何も入力せずに、永遠に動力を取り続けられる ―― いわゆる「第二種永久機関」(エネルギー保存則は破らないが、ありふれた熱を100%仕事に変えてしまうため、第二法則だけを破る架空の装置)になる。これは熱力学第二法則の明白な違反だ。マクスウェルが見つけた『穴』の正体は、これだった。

ただし、ひとつ大事な但し書きを。これを理解するには当時の時代背景を共有しておく必要がある。マクスウェルが生きた19世紀半ばは、物理法則を「神が宇宙に与えた絶対のルール」とみなす考え方が、まだ強く残っていた時代だった。ニュートン以来、自然の法則は人間の都合や認識とは無関係に成り立つ宇宙の鉄則だ ―― そう信じられていた。エネルギー保存則も、当時新しく確立されたばかりだった熱力学第二法則も、その絶対のルールのひとつとして扱われていた。

そんな空気のなかで、マクスウェルが提示したのは「本当にそうか?」という問いだった。彼は本気で第二法則を破ろうとしたわけではない。彼が訴えたかったのはこうだ ―― 「第二法則は神の鉄則ではなく、もっと脆い性質のものではないか。マクロな世界では確かに成り立つが、原理的には、分子1個1個を見分けられる存在がいたら破れてしまう。つまりこの法則の正体は、絶対の掟ではなく、統計的な約束事なのではないか」。物理法則を神聖視するのではなく、その成り立ちそのものを問い直す挑戦状として、この思考実験は書かれた。

実際にこの『悪魔』を作る術はない ―― が、原理的に作れたとしたら破れる。その形で、マクスウェルは第二法則の本質を炙り出そうとした。この問題提起は的確で、後の統計力学(分子レベルの確率で熱現象を説明する分野、ボルツマンらが発展させた)を準備することになった。ただし、彼の予想の半分は外れることになる ―― それを実証するのに、150年かかる。本記事の残りは、その150年の物語だ。

ひとつだけ、あとで効いてくる事実をここで指摘しておく。この「見分けて、判断して、開ける」という動作には、悪魔が見たことを一瞬でも「覚える」こと ―― つまり、どこかに記録すること ―― が必然的に伴う。何も覚えずに判断はできないからだ。記憶については、このあと体験パートと、その仕組みの解説の章で、もう一度立ち返ってくる。

この章では4人の人物に、悪魔をめぐる150年を案内してもらう。一人目はマクスウェル、二人目はそれを定量化したシラード、三人目は答えを出したランダウアー、そして四人目はとどめを刺したベネットである。

あなたが悪魔になる

議論はここまでにする。手を動かす段に入る。これから3つのフェーズで、悪魔の仕事の全行程を体験してもらう。

フェーズ1では、あなたが悪魔として分子を仕分ける。フェーズ2では、仕分けた結果を記憶していくと何が起こるかを見る。フェーズ3で、稼いだ仕事と、忘れるために払う熱の帳尻を確かめる。

箱の中で赤い分子(高速)と青い分子(低速)が動いている。中央の壁に穴がある。穴のあたりに分子が来た瞬間、箱をクリックまたはタップするとドアが0.6秒だけ開く。赤を右、青を左に通せれば成功。30秒間でどれだけ仕分けられるか。

うまく仕分けられただろうか。30秒間に何度かはミスもあったはずだ ―― 赤を左に逃したり、青に開けてしまったり。それでも、温度計の針は、最初は同じ温度だった2つの箱が、徐々に「左が冷たく、右が温かい」方向に分かれていくのを見せてくれたはずである。

この温度差を作るのに、あなたは何の仕事もしていない。ドアの開閉に必要なエネルギーは、原理的にはゼロにできる(摩擦のない理想的な蝶番を考えればよい)。それでも温度差は生まれる。これが第二法則の「穴」だった。

…と、ここまでなら問題ない。問題は、あなたが「赤がドアに近づいた」「青がいま向こうから来る」という判断を、何かに記憶しなければならないことだ。脳でも、ノートでも、悪魔のメモリでも、なんでもいい。仕分けは、計測と判断と記憶が伴う。次のフェーズで、その記憶に何が起こるかを見る。

仕分けるたびに、悪魔は「いま左に通したか、右に通したか」を1ビットビット情報の最小単位。0か1の二択を表す。コンピュータの記憶装置はすべてビットの集まり。として記憶する。下の8つのマスはメモリだ。「1ビット書く」を押して埋めていくと何が起こるか。

8ビットを使い切ったら、次の仕分けはできない。続けるには、古い記録を消さなければならない。「1ビット消去」を押すと、ビットがリセットされる ―― そして、画面右下にkT ln 2 の熱が積み上がっていく。

これがランダウアー限界ランダウアー限界1ビットの情報を消去するために原理的に必要となる最小の熱量。kT ln 2 ≒ 室温で約 2.9 × 10⁻²¹ ジュール。Rolf Landauer が1961年に導いた。である。1961年、ランダウアーがIBMの論文で導いた。ボルツマン定数ボルツマン定数 k温度とエネルギーをつなぐ自然定数。k ≒ 1.38 × 10⁻²³ J/K。マクロな熱とミクロな分子運動の橋渡し。 k に温度 T をかけ、ln 2 (≒0.693)を掛けたもの。室温(T=300K)では、1ビット消去あたり約 2.9 × 10⁻²¹ ジュール。途方もなく小さいが、ゼロではない。

どれくらい小さいか。比較すれば、室温で空気分子1個がもっている平均的な運動エネルギー(ざっと 6 × 10⁻²¹ ジュール)の、ちょうど半分くらい。空気分子1個分の「ひと揺らぎ」と同程度の熱が、1ビット消すごとに必ず外に逃げる。日常の感覚ではゼロにしか見えない量だが、物理学的には測定可能な、実在する量である。

これは「確かめるための道具」だ。3本のスライダーを動かしてみてほしい。温度 T、仕分けたビット数 N、そして消去の粗さ ε(0 = 完全可逆な理想極限、上げるほど現実の消去で余分に出る熱)をどう変えても、緑(悪魔の稼ぎ)と赤(消去で出る熱)のバーは必ずぴったり同じか、赤のほうが大きい。第二法則は、どんな条件でも抜け道なしに守られている。それを目で確かめるためだけに、ここのスライダーは存在する。

スライダーをどう動かしても、緑(稼ぎ)と赤(消去熱)はぴったり同じ(ε=0、完全可逆な極限)か、赤の方が大きい(ε>0、現実の消去)。「正味の取り分はゼロ以下」という結論しか出ない。これが結末である。悪魔は分子を選り分けることはできる。だが、選り分けた記録を忘れるたびに、少なくとも同じだけの熱を環境に返さないといけない。

不思議なのは、この帳尻合わせが「計算機」の話と完全に同じ構造をしていることだ。あなたのスマホがメモリを消去するたびに、原理的にはランダウアー限界の熱が放出されている。実際の半導体チップはこの限界より数千〜数万倍ほど多い熱を出してしまっているが、原理上の下限は決まっている。情報を忘れることは、物理現象である。

なぜ「忘れる」と熱が出るのか

ランダウアーの議論は、信じがたいほど単純である。1ビットのメモリとは、2つの状態(0か1)を区別できる物理装置だ。仮にそれを箱に入った1個の分子で表すとしよう ―― 左にいれば「0」、右にいれば「1」。

「消去する」とは、書かれているのが0でも1でも、操作後は必ず「0」になっている状態にする、という意味だ。あえて初期状態に依存しない、と言ってもいい。コンピュータの「ゼロクリア」と同じである。

ここがミソ。消去前は分子は左にいるか右にいるか分からない(2つの状態が等確率)。消去後は必ず左にいる(1つの状態)。状態の数が2 → 1に減る。

ここで使うのが、ボルツマンが1870年代に導いたS = k ln W(S はエントロピー、k はボルツマン定数ボルツマン定数 k温度とエネルギーをつなぐ自然定数。k ≒ 1.38 × 10⁻²³ J/K。マクロな熱とミクロな分子運動の橋渡し。、W はその系が取れる状態の数、ln は自然対数自然対数(ln)ネイピア数 e (≒ 2.718) を底とする対数。ln 2 ≒ 0.693。物理学・情報理論で「対数」といえば普通こちらを指す。教科書によっては log と書く流儀もあるが、底は e で同じ。)という公式だ ―― エントロピーは、その系が取れる「状態の数」の対数で決まる。状態数が 2 から 1 に減れば、エントロピーは k ln 2 − k ln 1 = k ln 2 だけ減る。ln 2 ≒ 0.693。覚える必要はない、状態が半分になる時のエントロピー減少量を表す数と思っておけばよい。

分子1個のエントロピーが減ったということは、同じだけのエントロピーがどこかで増えなければならない ―― これが第二法則だ。減った分のエントロピー(k ln 2)に温度 T をかけたものが、環境に流れ出る熱になる。kT ln 2。これだけ。

マクスウェルの問いに対するベネットの回答は、こう言い換えられる。「悪魔のサイクルを1周させたいなら、ノートを白紙に戻さないといけない。白紙に戻す瞬間に、これまで稼いだ仕事と同じだけの熱が出る。1周してみれば、エネルギーは±0で、第二法則は破られていない」。

最初の1ビットだけならごまかせる。ノートが空っぽのうちは、悪魔は消去なしで仕分けられる。だが空っぽなノートは有限のメモリしか持っていないから、いずれ満杯になり、消去のフェーズが始まる。長期的にはどんな悪魔も第二法則の前に膝を屈する。これが解決策である。

145年かけて答えに辿り着いた

2012年のベリュらの実験は、悪魔の議論を「思考」から「測定」に引きずり出した。シリカ粒子1個 ―― 直径2マイクロメートル、髪の毛より40倍細い ―― が、ダブルウェル(2つの谷を持つ)ポテンシャルの中をブラウン運動ブラウン運動液体中の微粒子が、周囲の分子の衝突を受けて不規則に動き回る現象。1827年に植物学者ブラウンが花粉粒子の動きで発見、1905年にアインシュタインが理論的に説明した。でゆらいでいる。レーザーで谷の深さを変えながら粒子を「左の谷」に強制的に集める ―― これが消去操作にあたる。ゆっくり消すほど、出る熱はランダウアー限界 kT ln 2 に下から漸近する。

論文の中の図には、横軸に消去にかける時間、縦軸に出た熱(kT単位)のプロットがある。短時間で消すほど摩擦熱が大きく、長時間に伸ばすほど熱は減って、ある下限値 ―― ちょうど ln 2 ≒ 0.693 ―― にゆっくり収束する。理論曲線と実測点は、見事に重なっていた。

情報は、もう物理学の登場人物だ

マクスウェルの悪魔は150年かかって、思考実験から実験室の中の現象に、そしてあなたのスマホのなかの計算プロセスにまで成長した。そのあいだに分かったのは、奇妙な、しかし整合的な事実である。

情報は、エネルギーや質量と同じように、物理学の基本量だ。1ビットの消去には kT ln 2 の熱が伴う。これは「比喩」ではない。実験室で測れる、数値の出る現象である。コンピュータの消費電力の理論限界はランダウアー限界で決まっている。現代のCPUはこの限界の数千〜数万倍ほど無駄をしているが、技術がいくら進んでも、kT ln 2 の壁は越えられない。

そして時間の矢は本物だ。第二法則だけが時間を非対称に扱う。お湯が冷めて部屋と同じ温度になる方向には進むが、逆は起こらない。エディントンの言葉を借りれば「世界の中の乱雑さが増していく方向」が、未来である。マクスウェルの悪魔は、この矢に逆らえなかった。逆らうためには、あらかじめ「白紙のメモリ」という秩序を用意する必要があり、その秩序を作るのにエントロピーがかかるからだ。

参考文献

e. Tamaki