マンデルブロ集合
z → z² + c

そもそも「反復」とは何か。

私たちが日常で使う計算は、だいたい一方通行だ。3 × 4 = 12。答えが出たら、それで終わる。だが数学には、答えを次の計算の入力に戻すという操作がある。これを反復（イテレーション）反復（iteration）
同じ操作を繰り返し適用すること。出力を次の入力として再利用する。フラクタル幾何学・力学系理論の基礎的操作。という。たとえば「2倍にする」を反復すると、1 → 2 → 4 → 8 → 16 … と値が爆発的に大きくなる。「半分にする」を反復すると、1 → 0.5 → 0.25 → 0.125 … とゼロに向かって縮んでいく。

反復のルールが単純でも、結果がどうなるかは一概に言えない。発散する（無限大に飛んでいく）のか、収束する（ある値に落ち着く）のか、それとも同じ値の間を行ったり来たりするのか。ルールは同じでも、最初の値が少し違うだけで結末が変わる。これが反復の面白さであり、怖さでもある。

マンデルブロ集合の式はこうだ。z → z² + c。z の初期値はゼロ。c は複素数複素数（complex number）
実数と虚数を組み合わせた数。a + bi の形で表される（i は虚数単位、i² = −1）。複素平面では横軸が実数部、縦軸が虚数部を表す。で、複素平面上のどこかの点を表す。

ここが大事なところだ。この式の c は、平面上の「座標」そのものだ。碁盤の目のように点が並んだ平面を想像してほしい。左上の点、右下の点、真ん中の点——それぞれの点が自分だけの c の値を持っている。座標は「横の位置」と「縦の位置」の2つの数で表される。数学ではこの横を「実数部」、縦を「虚数部」と呼び、縦の数には i という記号を付ける。i は「虚数単位」と呼ばれるもので、ここでは深く考えず「これは縦方向の座標ですよ」という目印だと思ってほしい。たとえば c = 0.3 + 0.5i なら、「横に0.3、縦に0.5」の位置にある点だ。

そして z は「計算の途中経過」だ。最初はゼロから始まって、計算するたびに値が変わっていく。たとえば c = 1 の点では z は 0 → 1 → 2 → 5 → 26 … とどんどん膨れ上がる。c = −1 の点では z は 0 → −1 → 0 → −1 → 0 … と穏やかに行き来する。式の構造は同じだが、点ごとに足す数（= c = その点の座標）が違うので、結末がまるで変わる。ある座標の点では3回で暴走し、隣の点では200回粘り、さらに隣の点は永遠に暴走しない。この違いが、最終的にあの複雑な図形を描き出す。永遠に暴走しなかった点を黒く塗り、暴走した点に色を付ける——こうして浮かび上がる「黒い領域」がマンデルブロ集合だ。

具体的に見てみよう。いくつかの c で式を実際に回すとこうなる。

このように、「暴走しなかった c」を黒く塗り、「暴走した c」は暴走するまでにかかった回数に応じて色を付ける。これを複素平面上のすべての点に対して実行すると、あのカブトムシのような黒い図形——マンデルブロ集合——が浮かび上がる。

複素平面という舞台。

ここで一つだけ補足しておく。複素平面とは、数を2次元で表す地図のようなものだ。横軸が通常の数（実数部）、縦軸が虚数部にあたる。たとえば c = 0.3 + 0.5i は、横に0.3、縦に0.5の位置にある点だ。虚数と聞くと身構えるかもしれないが、ここでは単に「数を平面上の点として扱える」と理解すれば十分だ。

マンデルブロ集合を描くとは、この複素平面の「地図」を塗り分ける作業にほかならない。すべての点 c に対して式を回し、暴走しなかった点を黒く塗る。そして境界上——暴走するかしないかの瀬戸際——にある点の周辺が、あの精緻な模様を描き出す。

フラクタルという名前。

マンデルブロ集合の境界を拡大すると、全体と似た形が何度でも現れる。この「部分が全体に似ている」という性質を自己相似性という。そして、自己相似性をもつ複雑な図形を総称してフラクタルフラクタル（fractal）
自己相似性をもつ複雑な図形の総称。ラテン語 fractus（砕けた）に由来し、マンデルブロが1975年に造語した。海岸線、木の枝分かれ、血管のネットワークなど、自然界のいたるところにフラクタル的構造が見られる。と呼ぶ。マンデルブロが1975年にラテン語の fractus（砕けた）から造った言葉だ。

フラクタルの典型的な例が「海岸線の長さ」の問題だ。海岸線を地図で測ると、物差しの長さを短くすればするほど、入り組んだ部分を拾って全長が伸びていく。理論上は「正確な長さ」が存在しない。この不思議な性質はマンデルブロ集合の境界にもそのまま当てはまる。フラクタルと海岸線の関係については別の記事で詳しく扱うが、ここではまず、マンデルブロ集合という「フラクタルの中のフラクタル」を体験することに集中しよう。

反復を自分の手で回してみる。

まず、反復が何をしているのかを手で触って確かめてみよう。下のツールに好きな c の値を入れて「反復する」を押すと、z がどう変化していくかがわかる。c = 0 や c = −1 なら穏やかだが、c = 1 を試すと値が一瞬で爆発する。境界付近の値——たとえば c = 0.25 や c = −0.75——を試すと、暴走するかしないかの際どい均衡が見えてくるはずだ。

この反復を、複素平面のすべての点に対して実行する。暴走しなかった点を黒く塗り、暴走した点に色を付ける。すると地図が浮かび上がる。それがマンデルブロ集合だ。

無限にズームしてみる。

下のキャンバスに描かれているのが、マンデルブロ集合の全体像だ。黒い部分が「暴走しなかった c」の集まり。カラフルな部分は「暴走した c」で、色は暴走するまでにかかった反復回数を表している。クリックするとその場所を中心に拡大できる。黒と色の境界線——つまり「暴走するかしないかの際」——の近くをクリックしてみてほしい。拡大するたびに、見たことのない構造が現れるはずだ。

何度か拡大した人は気づくはずだ。どこまで拡大しても、「そこで終わり」がない。新しい渦巻き、新しい触角、新しいミニチュアのマンデルブロ集合が、次から次へと姿を現す。同じ形は二度と出てこないが、どこか全体に似ている。これが自己相似性自己相似性（self-similarity）
構造の一部を拡大すると、全体と似た形が現れる性質。厳密な自己相似（完全に一致する）と統計的自己相似（傾向が似ている）がある。マンデルブロ集合は後者。だ。

なぜ、こんなに複雑な構造が生まれるのか。

マンデルブロ集合の複雑さは、「境界」に集中している。集合の内部（黒い部分）は静かだ。外部（色のついた部分）も、遠くへ行けば行くほど単調に暴走する。だが境界線——集合の内側と外側の「際（きわ）」——は、文字通り無限に複雑だ。

数学者の志々倉光弘志々倉光弘（Mitsuhiro Shishikura）
日本の数学者。京都大学教授。1998年にマンデルブロ集合の境界のハウスドルフ次元が2であることを証明した。複素力学系の世界的研究者。は1998年に、マンデルブロ集合の境界のハウスドルフ次元ハウスドルフ次元
図形の「複雑さ」を測る尺度。直線は1次元、平面は2次元。マンデルブロ集合の境界はトポロジー的には「線」（1次元）だが、ハウスドルフ次元は2。これは「線でありながら面と同じくらい複雑」という意味だ。がちょうど2であることを証明した。ハウスドルフ次元とはフラクタルの「複雑さ」を数値で表す尺度で、直線は1、平面は2にあたる。マンデルブロ集合の境界は線なのに、この値が2。つまり線でありながら、面のように空間を埋め尽くすほど入り組んでいるということだ。

砕けた幾何学の誕生。

マンデルブロ集合の背後には、一世紀にわたる数学の物語がある。

単純なルールは、単純な結果を生むとは限らない。

マンデルブロ集合が私たちに見せているのは、ある種の逆説だ。たった1行の式——z → z² + c——を繰り返すだけで、人間の想像力を超える複雑さが立ち現れる。複雑さの源泉は、ルールの複雑さではない。反復そのものが、秩序と混沌の境界に果てしない構造を編み上げる。

このシリーズで取り上げてきたラングトンのアリも、同じ原理の上にある。2つのルールだけで、混沌のあとに突然秩序が現れた。コンウェイのライフゲームも、わずか4つのルールから自己複製体やコンピュータが出現する。マンデルブロ集合は、この「単純さから複雑さが生まれる」という原理を、もっとも美しく、もっとも純粋な形で示している。